1 Sistemas Numéricos

1.1 Sistemas Numéricos

Los números enteros positivos que nos permiten enumerar y ordenar como 1,2,3… los llamamos números “naturales” y los representamos como . Sobre ellos podemos utilizar la adición pero no otras operaciones algebraicas. Para introducir la sustracción y contar con soluciones para las ecuaciones de la forma a+x=b, donde a y b son naturales, requerimos del cero y los enteros negativos: -1,-2,…, con ellos formamos el sistema de números “enteros” y los representamos como . Observe que cuando , la ecuación siempre encuentra una solución en . La misma afirmación es cierta cuando . Los números racionales son aquellos que podemos formar como fracciones de enteros:

Observe que un mismo racional q puede representarse de varias formas como un cociente de enteros. Esta ambigüedad se resuelve exigiendo que el signo lo determine el numerador a y que no haya factores comunes entre a y b. Es importante notar que toda ecuación de la forma siempre encuentra una solución en cuando . La misma afirmación es cierta cuando .

El lector debe notar que las operaciones de suma, multiplicación y sustracción están bien definidas en , sin embargo no es posible realizar divisiones tan sólo con los números enteros. Para ello requerimos el sistema de los números racionales donde podemos efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Desde este punto de vista el sistema de números racionales parece suficiente para las operaciones algebraicas básicas, sin embargo para otros propósitos los racionales son bastante limitados. Por ejemplo, la ecuación de segundo grado , tiene solución en los números que no son racionales, son números irracionales.

El lector debe imaginar fácilmente una situación en la que deba plantear (p.e.: construir un cuadrado de área 2). Otros ejemplos de números irracionales son y , siendo el área de un círculo de radio 1 y la base para los logaritmos naturales.

Determinar cuándo un número es irracional es un problema interesante y en muchos casos extremadamente difícil. Más adelante presentaremos la demostración formal de la “irracionalidad” de . Para extender el sistema de los números racionales e incluir los irracionales, se emplea el sistema de los números “reales” representado como . En contamos con todas las operaciones algebraicas y además incluimos una relación de orden , denominada informalmente “menor que” la cual es una relación binaria con las siguientes propiedades:

Dados dos números reales y siempre se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

II.

III.

Cuando es real y entonces .
El sistema de números reales queda dividido en tres grandes grupos:

I. El cero

II. Los números positivos , aquellos en tales que

III. Los números negativos , aquellos en tales que

El producto de dos números, ambos positivos o ambos negativos es siempre positivo.
El producto de un número positivo con otro negativo es negativo.
Cuando 0 < y < entonces .

En este punto suponemos que el lector está informado sobre las propiedades aritméticas y algebraicas esenciales que tienen lugar sobre los números reales, p.e.: que la multiplicación por cero da cero, que la suma y la multiplicación son operaciones conmutativas, que no podemos dividir por cero, etc

También en este punto el lector debe notar que todas las operaciones y propiedades que hemos presentado para , también aplican para . Entonces ¿Qué hace distinto a , aparte de incluir unos “cuantos” números “diferentes” llamados irracionales?, la respuesta está en una propiedad “sutil” que desprevenidamente enunciamos como: “Todo conjunto de números reales acotado superiormente tiene un supremo”

Descifráremos paso a paso esta afirmación: Si consideramos el sistema de números reales como una gran familia, podemos hablar de conjuntos o subconjuntos de números reales. Empleando notación de conjuntos definimos intervalos como:

también intervalos cerrados como:

o intervalos semiabiertos como:

y análogamente .

También podemos definir intervalos no acotados como:

(otra forma de escribir )

donde es un intervalo abierto no acotado y es un intervalo cerrado no acotado. Observe que las palabras “cerrado” y “abierto” las empleamos según los extremos del intervalo estén o no estén incluidos en el conjunto. La palabra “acotado” se refiere a la situación en la cual el intervalo tiene extremo derecho e izquierdo, dicho de otra forma, cuando el intervalo no se extiende sin límite hacia la derecha o hacia la izquierda.

Los intervalos de los diferentes tipos que hemos presentado son buenos ejemplos de conjuntos de números reales.

Otros conjuntos de números reales de gran interés son las sucesiones. Una sucesión es una lista (normalmente sin fin) de números reales, que enumeramos con un subíndice que es un número natural que nos permite formar la lista. En general decimos que:

es una “sucesión” de números reales si podemos determinar con toda precisión cual es para cada . Como ejemplo tenemos:

donde , para cada .

Otro ejemplo de sucesión es:

donde para cada .

Normalmente usamos una notación abreviada como ; así, en los casos expuestos tenemos y .

Evidentemente hay quien elige comenzar la sucesión con , esto es muy válido y así aparece en muchos casos.

Presentados estos diferentes tipos de conjuntos de números reales (sucesiones e intervalos) podemos avanzar en la explicación sobre qué hace diferente los números reales de los números racionales.

Como ya ha notado el lector, emplearemos la notación para referirnos a la comparación “mayor o igual a” la cual contempla “mayor que estricto” o posiblemente “igualdad”. Dado un conjunto de números reales, diremos que está “acotado superiormente” si existe un número real tal que: . Es decir es mayor o igual que cualquiera de los elementos de . En estas condiciones decimos que el número es una “cota superior” para el conjunto de números reales. De una manera similar podemos definir conjuntos “acotados inferiormente” y “cota inferior” para conjuntos de números reales.

Como ejemplo, diremos que la sucesión está acotada superiormente, evidentemente es cota superior para esta sucesión. Sin embargo no está acotado superiormente, pero sí está acotado inferiormente. El es cota inferior para esta última sucesión. Note que un conjunto acotado superiormente o inferiormente, tiene muchas cotas superiores o inferiores. Por ejemplo y cualquier número natural son cotas superiores para . Cualquier número negativo es cota inferior de . También observe que una cota superior o inferior puede o no puede pertenecer al conjunto . Por ejemplo es cota superior de pero no pertenece al conjunto .

Dado un conjunto acotado superiormente o inferiormente, decimos que tiene un máximo cuando es una cota superior de , que además pertenece al conjunto . Cuando es acotado inferiormente, decimos que es un mínimo de si es una cota inferior que pertenece a . Es fácil ver que si tiene un máximo, este debe ser único. Lo mismo si tiene un mínimo, este debe ser único. Por ejemplo, note que tiene un máximo en , pero no tiene un mínimo. Note que no tiene un máximo pero su mínimo es .

Cuando es un conjunto acotado inferiormente, existe una (y muchas más) cotas superiores para , entonces podemos considerar el conjunto formado por todas las cotas superiores de . Si aceptamos que no es vacío, cada número en es una cota inferior para . Lo que hace particular al sistema de los números reales es una propiedad fácil de enunciar:

Cuando es un conjunto de números reales acotado superiormente, el conjunto de las cotas superiores siempre tiene un mínimo. En otras palabras, todo conjunto de números reales cotado superiormente posee una mínima cota superior.

A este valor (que proponemos que siempre existe) se le llama “supremo” del conjunto , por eso hemos dicho previamente que todo conjunto acotado superiormente en , tiene un supremo. Esta propiedad de se suele llamar propiedad del “supremo”. Los mismos comentarios aplican para máximas cotas inferiores de conjuntos acotados inferiormente en , llamados ínfimos.

Vemos por qué esto hace diferente a de , si consideramos el conjunto vemos que es acotado superiormente en , vemos que es una cota superior para esta sucesión. Pero además es la mínima cota superior de esta sucesión (Explique por qué). Observe que el supremo no tiene que pertenecer al conjunto, el supremo de es . También es fácil ver que el supremo es único (Explique).

Consideremos la sucesión definida recursivamente como: , donde el valor inicial entonces la sucesión (está incluido en ). Por procedimientos de cálculo no demasiado difíciles, podemos mostrar que , es decir que se acerca progresivamente a cuando crece. Decimos que la serie “converge” al valor y no es difícil ver que para cualquier , entonces es una sucesión de números racionales acotada inferiormente, veremos que no tiene una máxima cota inferior, es decir un ínfimo en . Notemos que , es decir es una sucesión decreciente, cualquier número racional es una cota inferior de , ahora bien, estas son las únicas cotas inferiores de . Es claro que este conjunto , no tiene un máximo, entonces no tiene una máxima cota inferior, luego carece de ínfimo en . Sin embargo es el ínfimo de en . Note también que no pertenece a .

Las propiedades de convergencia de las sucesiones infinitas en son la base del análisis real y del cálculo avanzado.

Ejercicio

Aceptamos que el sistema numérico decimal nos permite representar todos los números reales, resaltamos que podemos distinguir entre racionales e irracionales observando que los racionales tendrán una representación finita o periódica a partir de un punto en su expansión decimal, mientras que los irracionales se podrán expresar con una expansión decimal infinita en la que no aparece ningún periodo.

Con esta observación el lector debería poder mostrar los siguientes hechos:

Siempre podemos encontrar un número racional arbitrariamente cerca de cualquier número real. “Los racionales son densos En ”.
Entre cualquier pareja de números reales siempre hay un racional (también irracional).
Propiedad Arquimediana: Si es un racional positivo, puede hacerse arbitrariamente grande. Esto significa que dado: arbitrario, existe tal que

1.2 Series Infinitas

En cálculo podemos estudiar la posibilidad de realizar sumas infinitas gracias a las propiedades de los números reales. Una serie infinita es una expresión formal que contempla la realización de una suma sobre todos los términos de una sucesión, independientemente de que tal suma tenga sentido o no.

1.2.1 Sumas parciales

Dada una serie infinita , definimos sus sumas parciales como la sucesión cuyos términos son las sumas de los primeros términos en la sucesión .

Una serie infinita convergerá (o sumará) a un valor si y sólo si la sucesión de sus sumas parciales converge a tal valor llamado “suma” o límite de la serie; decimos: , cuando .

1.2.2 Series Geométricas

Dado un número , queremos sumar todas las potencias de comenzando con , es decir:

Sus sumas parciales son:

Con un cálculo sencillo tenemos: .

Así que = cuando , si , entonces: .

Cuando tenemos , entonces no converge cuando .

Si entonces , lo que tampoco converge.

Si tenemos: , entonces tampoco converge.

Caso Especial : Considere el dibujo 1 y observe que:

, luego

, entonces

Pero tomando el límite de la serie geométrica es .

Dibujo 1

1.2.3 Serie Armónica

Dada la serie cuyas sumas parciales son: ; estudiaremos su convergencia.

Haremos una comparación empleando herramientas de cálculo integral:

Dibujo 2

Área sombreada = , la función no es acotada, entonces cuando , , crece sin cota, cuando crece. Esto significa que si positivo, existe tal que si .

Esto muestra que la serie armónica no converge. El sistema de los números reales es el contexto adecuado para presentar resultados de convergencia y procesos límite en cálculo y análisis, las propiedades de los números reales que permiten estos procedimientos se denominan topología o propiedades topológicas de la recta real. No entraremos en esta materia.

A pesar de las fortalezas del sistema de los número reales, éste no es suficiente para resolver ecuaciones algebraicas muy sencillas como . Para estudiar las soluciones a este tipo de ecuaciones algebraicas, recurrimos al sistema de los números complejos. Los números complejos los representamos como , pero su presentación puede hacerse de varias maneras. Usaremos un plano cartesiano compuesto de dos ejes: el horizontal lo llamaremos eje real, el vertical eje imaginario. Cada punto de coordenadas en este plano representa un número complejo en la forma:

donde llamamos parte real de al número y llamamos parte imaginaria de al número real . El número se llama número imaginario y tomará sentido más adelante, note que él ocupa la posición (0,1) en el plano complejo.

El sistema de números complejos contiene a los reales puesto que podemos identificar a la recta real con el eje real del plano complejo, así cada se representa como el punto o el número complejo . Definimos la suma entre dos números complejos y como , esta operación corresponde a la suma de vectores que genéricamente es la ley del paralelogramo en el plano cartesiano:

Dibujo 3

Además note que la “suma compleja” extiende a la suma de los números reales y que tiene todas las propiedades algebraicas de la suma habitual en números reales. La multiplicación para números complejos se define de la siguiente manera:

Esta operación extiende a la multiplicación de números reales y tiene las mismas propiedades algebraicas.

En los números complejos toma un especial interés la norma o valor absoluto que se define como cuando . Geométricamente, es la magnitud del vector en el plano en que representamos los números complejos.

Algunas propiedades de la norma son:

si y sólo si
cuando es real
cuando es complejo
desigualdad triangular
si

El lector debe notar que estas son las mismas propiedades de la norma para vectores en el plano (a excepción del punto iii ) y que extienden las propiedades del valor absoluto en los números reales.

Cada número complejo admite una representación alternativa llamada representación polar, en la cual utilizamos las coordenadas polares del punto que representa a en el plano complejo.

Recordamos que definen a y como:

Dibujo 4

de igual manera definen a y como:

El lector debería ser consciente de la ambigüedad en la representación cuando sumamos ángulos múltiplos de al argumento :

con

De esta manera , puede representarse como , o más concisamente , donde la representación exponencial hace uso de las propiedades de la función exponencial: Tenemos entonces la fórmula de Euler:

Fórmula de Euler

Dibujo 5

La expresión anterior representa todos los números complejos en la circunferencia unitaria, centrada en el origen del plano complejo. Es importante aprender a utilizar ambos sistemas de representación para números complejos: rectangular y polar.

Podemos utilizar este sistema de representación para entender la multiplicación en el sistema de números complejos. Si y entonces .

Utilizando las propiedades de la función exponencial vemos que la magnitud de es el producto de las magnitudes de y: , y el argumento de es , lo que indica que para formar el producto entre dos números complejos debemos multiplicar las magnitudes y sumar los argumentos.

Dibujo 6

Observe que la multiplicación de números complejos implica una rotación (adición de argumentos) y el producto de magnitudes. Esta propiedad hace que los números complejos sean especialmente útiles para estudiar fenómenos oscilatorios en física e ingeniería. El caso de las potencias es particularmente interesante:

Cuando , claramente es un punto en la circunferencia unitaria, cuyo radio vector forma un ángulo con el semieje positivo del eje real. Entonces:

de manera que es otro punto en la circunferencia unitaria pero que duplica el ángulo que formaba con el semieje de los reales positivos. En general . Así que tomando potencias enteras de , hacemos que un punto “circule” sobre la circunferencia unitaria:

Dibujo 7

Esta argumentación geométrica nos permite alcanzar un resultado fundamental en cálculo complejo:

1.2.4 Fórmula de De Moivre

cuando .

Con esta explicación geométrica podemos definir la función raíz n-ésima en los números complejos. Veremos que la raíz n-ésima de está compuesta por números complejos simétricamente repartidos en la circunferencia unitaria.

Definimos la raíz n-ésima de 1, como aquellos números complejos w tales que . Evidentemente tiene que tener valor absoluto , en caso contrario su n-ésima potencia no tendrá magnitud .

Entonces podemos representar w como y veremos que . La representación polar de es , así que , entonces , luego , así que , con lo cual es raíz n-ésima compleja de . Esto es lo usual en los números reales.

Utilizando la ambigüedad presente en la representación polar, vemos también que , toma la forma , luego , así que . En general las n raíces de en el plano complejo son:

con

En el caso tenemos:

Dibujo 8

, que en forma cartesiana son:

La división en los números complejos se introduce de una manera muy sencilla utilizando la representación polar , es así como definimos:

La división en forma rectangular toma la siguiente forma:

En el argumento anterior hemos utilizado una operación importante en el cálculo complejo llamada “conjugación”: dado un número complejo su “conjugado” es , note que es la imagen especular de respecto al eje real. Algunas propiedades son:

Las operaciones algebraicas y sus propiedades en los números complejos extienden todas las conocidas en los números reales. El sistema de los números complejos adquiere una especial importancia al referirnos a las soluciones de las ecuaciones algebraicas que podemos expresar como:

donde

1.3 Resultados Básicos del Algebra

Cada polinomio con coeficientes reales tiene solución en el plano complejo.
Cuando es una raíz real de , donde no divide a . Decimos que es la multiplicidad de .
Cuando es una raíz compleja de , su conjugado también lo es: y Podemos expresar P(x) como , donde no divide a . Observe que: .
Cuando es un polinomio de coeficientes reales, podemos expresarlo como: , donde es el grado de y son sus raíces escritas de manera que las repetimos de veces necesario para igualar a su multiplicidad.