CÁLCULO VARIACIONAL

Es un paquete, se carga con:

El problema básico del calculo de variaciones es determinar la función u(x) que hace que el funcional sea un extremo.
En general, puede haber más de una variable independiente y el integrando f puede depender de varias funciones y derivadas más altas.
Las funciones extremales son solución a las ecuaciones de Euler-Lagrange, estas ecuaciones se obtienen al hacer que las primeras derivadas variacionales del funcional F con respecto a cada función sean iguales a cero. Dado que muchas de las ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales se pueden obtener como ecuaciones de Euler de funcionales apropiados los métodos variacionales se concideran de utilidad general.

VariationalD da la primera derivada variacional del funcional F definido por el integrando f. f puede depender de varias funciones u,v,w,…; sus derivadas de orden arbitrario; y variables x,y,z,… .
EulerEquations da las ecuaciones de Euler-Lagrange obtenidas del integrando f.

La primera derivada variacional de

Aca f es el Lagrangiano (T-U) del péndulo simple. EulerEquations da la ecuación del péndulo.

Este paquete define varios sistemas de coordenadas y la función Grad (gradiente)

Fijamos el sistema de coordenadas a cartesianas y las nombramos x, y, z

Con esto se pueden generar las ecuaciones de Laplace

Cuando solo hay una variable independiente x, FirstIntegrals da cantidades que se conservan en los sigientes casos:
    1) Si f no depende de la cordenada u (coordenada ignorable) explicitamente la ecuación de Euler correspondiente tiene una primera integral obvia (un momento generalizado que se conserva).
    2) Si f depende de u,v,… y sus primeras derivadas y no tiene dependencia explicita de x. En este caso FirstIntegrals da el Hamiltoniano del sistema

El Lagrangiano para el movimiento devido a una fuerza central tiene una cordenada ignorable φ (conservación del momentum angular) y no depende explicitamente del tiempo t (conservación de la energía). FirstIntegrals da la primera integral de la coordenada φ y la primera integral que corresponde al Hamiltoniano

El principio variacional de Ritz da una técnica poderosa para aproximar soluciones de:
    1) Problemas de valores propios Au = λwu donde A es un operador y w(x,y,…) es una función de peso, o
    2) Problemas de la forma Bu(x,y,…) = h(x,y,…) donde B es un operador definido positivo y h es conocida.
En ambos casos se debe dar una propuesta para una función de prueba que satisface las condiciones de frontera del problema y depende de parametros variacionales {a,b,…}.
Para el problema (1)

.
El resultado es una cota superior para los valores propios correspondientes y valores óptimos de los parámetros.
Para (2)

extremiza el funcional con f = uBu - 2uh y da el valor del funcional y los valores óptimos.
VariationalBound se puede utilizar también para extremizar funciones generales dada una función de prueba apropiada.
NVariationalBound hace lo mismo que VariationalBound numéricamente.

	da una cota superior para los valores propios, y los valores óptimospara a, b, ... en el rango {{amin, amax}, {bmin . bmax}, ...}
	da el valor del funcional y los valores óptimos de a, b, ...
	evalua numéricamente la cota superior de los valores propios
	evalua numéricamente el valor del funcional y los valores óptimos de a, b, ...

Una función de onda de prueba para el estado 2s del átomo de hidrogeno con un nodo en a da el valor exacto de la energía en unidades de Rydbergs.
Notar que el elemento de volumen es incluido dentro de los parámetros del funcional f y g, y el rango por defecto de los parámetros es (-∞,∞).

El problema de torsión de una barra de sección trasversal cuadrada incluye solucionar donde u se hace cero en la frontera.
VariationalBound da valores óptimos para los parámetros de una solución aproximada

Created by Mathematica  (August 9, 2004)